$\overrightarrow{r}=3\times \hat{i}-2y\hat{j}+4z\hat{k}$ হলে $\overrightarrow{\nabla .}\overrightarrow{r}$=?

কোনো ভেক্টর ক্ষেত্র \(\vec{F} = F_x \hat{i} + F_y \hat{j} + F_z \hat{k}\) এর ডাইভারজেন্স (Divergence) হলো একটি স্কেলার রাশি যা নির্দেশ করে যে ঐ ভেক্টর ক্ষেত্রটি একটি নির্দিষ্ট বিন্দু থেকে কতটা প্রসারিত বা সংকুচিত হচ্ছে। কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় ডাইভারজেন্সের সংজ্ঞা নিম্নরূপ:

\[ \vec{\nabla} \cdot \vec{F} = \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z} \]

প্রদত্ত ভেক্টর ক্ষেত্রটি হলো:

\[ \vec{r} = 3\hat{i} - 2y\hat{j} + 4z\hat{k} \]

এখানে, ভেক্টরটির উপাদানগুলো হলো:

    
• \(F_x = 3\)
    
• \(F_y = -2y\)
    
• \(F_z = 4z\)

এখন, আমরা প্রতিটি উপাদানের সাপেক্ষে আংশিক অন্তরক (partial derivative) নির্ণয় করব:

    
1. \( \frac{\partial F_x}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(3) = 0 \)
    
2. \( \frac{\partial F_y}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(-2y) = -2 \)
    
3. \( \frac{\partial F_z}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z}(4z) = 4 \)

সুতরাং, ডাইভারজেন্স হবে:

\[ \vec{\nabla} \cdot \vec{r} = \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z} = 0 + (-2) + 4 = 2 \]

আমরা ডাইভারজেন্সের মান পেয়েছি 2। কিন্তু প্রদত্ত অপশনগুলোর মধ্যে 3, 5, 9, 12 রয়েছে। যেহেতু আমাদের প্রাপ্ত ফলাফল (2) কোনো অপশনের সাথে মেলে না, তাই প্রদত্ত শর্ত বা তথ্য অনুযায়ী এখানে কোনো অপশনই সঠিক নয়।